【函数求导公式】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的函数求导公式，有助于快速解决数学问题和实际应用中的变化率分析。本文将对常用函数的求导公式进行总结，并以表格形式呈现，便于查阅与记忆。
一、基本初等函数的导数公式
| 函数名称 | 函数表达式 | 导数 |
| 常数函数 | $ f(x) = C $（C为常数） | $ f'(x) = 0 $ |
| 幂函数 | $ f(x) = x^n $（n为实数） | $ f'(x) = nx^{n-1} $ |
| 指数函数 | $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| 自然指数函数 | $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| 对数函数 | $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1） | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| 自然对数函数 | $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| 正弦函数 | $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| 余弦函数 | $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| 正切函数 | $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| 余切函数 | $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
二、复合函数的导数法则
在实际应用中，很多函数是多个简单函数的组合，因此需要使用以下导数法则：
1. 链式法则
若 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，则
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
2. 乘积法则
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则
$$
y' = u'v + uv'
$$
3. 商法则
若 $ y = \frac{u(x)}{v(x)} $，则
$$
y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
三、高阶导数与隐函数求导
除了基本的导数外，有时还需要计算高阶导数或处理隐函数的导数。例如：
- 高阶导数：如 $ y'' = (y')' $，即对原函数的导数再求一次导。
- 隐函数求导：若函数关系不显式给出，如 $ F(x, y) = 0 $，则通过两边对 x 求导，解出 $ \frac{dy}{dx} $。
四、小结
掌握函数求导的基本公式和法则，是学习微积分的基础。通过对常见函数的导数进行归纳整理，并结合链式法则、乘积法则、商法则等，可以有效应对各种复杂的求导问题。建议多做练习题，加深理解，提高解题速度与准确性。
如需进一步了解导数的应用（如极值、曲线斜率、物理意义等），可继续关注相关专题内容。
