在数学领域，尤其是线性代数中，行列式是一个非常重要的概念。它不仅用于判断矩阵是否可逆，还广泛应用于求解线性方程组、计算几何体积以及分析动态系统的稳定性等场景。而行列式的展开公式，则是计算行列式值的一种核心方法。

假设我们有一个n阶方阵A，其元素记作a[i][j]（i表示行号，j表示列号）。行列式的定义可以通过递归的方式给出：一个2x2矩阵的行列式为两个对角线元素的乘积之差；而对于更高阶的矩阵，可以通过将矩阵按某一行或某一列展开来逐步降低阶数，最终达到计算的目的。

具体来说，对于任意选定的一行k（1≤k≤n），行列式det(A)可以按照该行进行展开，公式如下：

\[ \text{det}(A) = \sum_{j=1}^{n} (-1)^{k+j} \cdot a[k][j] \cdot M[k][j], \]

其中\(M[k][j]\)表示去掉第k行和第j列后剩下的(n-1)×(n-1)子矩阵的行列式，称为余子式。

类似地，也可以选择某一列l（1≤l≤n）来进行展开，相应的公式为：

\[ \text{det}(A) = \sum_{i=1}^{n} (-1)^{i+l} \cdot a[i][l] \cdot M[i][l]. \]

这里需要注意的是，“(-1)^(k+j)”或者“(-1)^(i+l)”部分决定了符号因子，这是由于行列式计算过程中涉及到奇偶排列的问题。当k+j或i+l为偶数时，对应的项取正值；否则取负值。

为了更好地理解这个过程，让我们来看一个具体的例子。考虑一个3×3的矩阵：

\[ A =

\begin{bmatrix}

a & b & c \\

d & e & f \\

g & h & i

\end{bmatrix}.

\]

如果我们选择第一行展开，则行列式为：

\[ \text{det}(A) = a \cdot \text{det}

\begin{bmatrix}

e & f \\

h & i

\end{bmatrix}

- b \cdot \text{det}

\begin{bmatrix}

d & f \\

g & i

\end{bmatrix}

+ c \cdot \text{det}

\begin{bmatrix}

d & e \\

g & h

\end{bmatrix}. \]

可以看到，每个项都是原矩阵中某个元素与其对应余子式的乘积，并且根据位置的不同添加了适当的正负号。

总之，通过上述方法，我们可以有效地利用行列式展开公式来解决各种实际问题。当然，在实际应用中还需要结合具体情况灵活运用，比如优先选取零较多的行或列以简化计算步骤。希望本文能帮助大家加深对这一重要知识点的理解！