【偏导数基本公式是什么】在多元函数中，偏导数是研究函数在某一变量方向上的变化率的重要工具。掌握偏导数的基本公式对于理解多元微积分、优化问题以及物理和工程中的许多应用都至关重要。以下是对偏导数基本公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、偏导数的定义
设函数 $ f(x, y) $ 是一个二元函数，若固定其中一个变量（如 $ y $），则 $ f $ 关于 $ x $ 的导数称为对 $ x $ 的偏导数，记作：
$$
\frac{\partial f}{\partial x}
$$
同理，对 $ y $ 的偏导数为：
$$
\frac{\partial f}{\partial y}
$$
偏导数的计算方法与单变量导数类似，只是在求导过程中将其他变量视为常数。
二、偏导数的基本公式
以下是一些常见函数的偏导数公式，适用于多变量函数。
| 函数形式 | 对 $ x $ 的偏导数 | 对 $ y $ 的偏导数 |
| $ f(x, y) = c $（常数） | $ 0 $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = x^n $ | $ n x^{n-1} $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = y^m $ | $ 0 $ | $ m y^{m-1} $ |
| $ f(x, y) = x + y $ | $ 1 $ | $ 1 $ |
| $ f(x, y) = xy $ | $ y $ | $ x $ |
| $ f(x, y) = \sin(x) $ | $ \cos(x) $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = \cos(y) $ | $ 0 $ | $ -\sin(y) $ |
| $ f(x, y) = e^{x+y} $ | $ e^{x+y} $ | $ e^{x+y} $ |
| $ f(x, y) = \ln(x) $ | $ \frac{1}{x} $ | $ 0 $ |
| $ f(x, y) = \ln(x+y) $ | $ \frac{1}{x+y} $ | $ \frac{1}{x+y} $ |
三、高阶偏导数
除了对单个变量求偏导外，还可以对偏导数继续求导，得到高阶偏导数。例如：
- 二阶偏导数：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
$$
其中，若函数连续，通常有：
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}
$$
四、总结
偏导数是研究多变量函数局部变化率的重要工具，其基本公式包括对单变量的导数规则，以及一些常见函数的偏导表达式。掌握这些公式有助于理解和解决实际问题中的优化、极值分析及物理建模等。
通过表格形式可以更清晰地看到不同函数对应的偏导数结果，便于记忆和应用。
