【常见函数的z变换】在数字信号处理中，Z变换是一种重要的数学工具，用于分析和设计离散时间系统。Z变换可以将时域中的离散信号转换到复频域中，便于进行系统分析、滤波器设计和稳定性判断等操作。本文总结了几种常见的离散时间函数及其对应的Z变换，以帮助读者更好地理解和应用Z变换。
一、常用函数及其Z变换总结
| 序号 | 函数表达式（n ≥ 0） | Z变换表达式 | 收敛域（ROC） | ||||
| 1 | δ(n) | 1 | 全平面 | ||||
| 2 | u(n) | $\frac{z}{z - 1}$ | z | > 1 | |||
| 3 | a^n u(n) | $\frac{z}{z - a}$ | z | > | a | ||
| 4 | n u(n) | $\frac{z}{(z - 1)^2}$ | z | > 1 | |||
| 5 | n a^n u(n) | $\frac{az}{(z - a)^2}$ | z | > | a | ||
| 6 | (-1)^n u(n) | $\frac{z}{z + 1}$ | z | > 1 | |||
| 7 | cos(ω₀n)u(n) | $\frac{z(z - \cos\omega_0)}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$ | z | > 1 | |||
| 8 | sin(ω₀n)u(n) | $\frac{z\sin\omega_0}{z^2 - 2z\cos\omega_0 + 1}$ | z | > 1 | |||
| 9 | e^{αn}u(n) | $\frac{z}{z - e^\alpha}$ | z | > | e^α |
二、说明与注意事项
1. 单位脉冲函数δ(n)：其Z变换为1，表明它在所有z值上都收敛。
2. 单位阶跃函数u(n)：其Z变换为$\frac{z}{z - 1}$，收敛域为
3. 指数序列a^n u(n)：当
4. 线性序列n u(n)：其Z变换形式为$\frac{z}{(z - 1)^2}$，常用于描述线性增长的系统响应。
5. 三角函数序列：如cos(ω₀n)u(n)和sin(ω₀n)u(n)，它们的Z变换形式较为复杂，但可用于分析周期性或振荡系统的特性。
6. 收敛域的重要性：不同的收敛域对应不同的系统特性，例如因果系统和非因果系统的区别，以及系统稳定性的判断。
三、小结
Z变换是研究离散时间系统的重要工具，掌握常见函数的Z变换有助于快速分析和设计数字系统。上述表格整理了常用的函数及其Z变换结果，适用于学习和实际工程应用。理解这些基本变换形式，能够为更复杂的系统建模和分析打下坚实的基础。
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