【概率密度的表达式】在概率论与统计学中，概率密度函数（Probability Density Function, PDF） 是描述连续型随机变量的概率分布的重要工具。它不直接给出某个具体值的概率，而是描述了随机变量在某一区间内取值的可能性大小。本文将对常见的概率密度函数进行总结，并以表格形式展示其表达式、定义域及参数意义。
一、概率密度函数概述
概率密度函数 $ f(x) $ 满足以下两个基本性质：
1. 非负性：对于所有 $ x \in \mathbb{R} $，有 $ f(x) \geq 0 $；
2. 归一性：积分从负无穷到正无穷的结果为 1，即
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx = 1
$$
通过概率密度函数，我们可以计算随机变量落在某区间内的概率，即
$$
P(a \leq X \leq b) = \int_a^b f(x) \, dx
$$
二、常见概率密度函数汇总
| 分布名称 | 概率密度函数 $ f(x) $ | 定义域 | 参数说明 |
| 均匀分布 | $ f(x) = \frac{1}{b - a} $ | $ [a, b] $ | $ a $、$ b $：区间端点 |
| 正态分布 | $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}} $ | $ (-\infty, \infty) $ | $ \mu $：均值；$ \sigma $：标准差 |
| 指数分布 | $ f(x) = \lambda e^{-\lambda x} $ | $ [0, \infty) $ | $ \lambda $：速率参数 |
| 伽马分布 | $ f(x) = \frac{\beta^\alpha}{\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $ | $ [0, \infty) $ | $ \alpha $：形状参数；$ \beta $：尺度参数 |
| 伯努利分布 | $ f(x) = p^x (1-p)^{1-x} $ | $ x=0,1 $ | $ p $：成功概率 |
| 二项分布 | $ f(x) = C_n^x p^x (1-p)^{n-x} $ | $ x=0,1,...,n $ | $ n $：试验次数；$ p $：每次成功概率 |
| 泊松分布 | $ f(x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} $ | $ x=0,1,2,... $ | $ \lambda $：平均发生次数 |
三、总结
概率密度函数是研究连续型随机变量的重要数学工具，不同的概率分布对应着不同的密度函数形式。掌握这些函数的表达式有助于我们理解随机现象背后的统计规律，并在实际问题中进行建模和分析。
通过上述表格，可以快速查阅各类分布的概率密度表达式及其适用范围。在学习或应用过程中，应结合具体问题选择合适的分布模型，从而更准确地描述和预测随机事件的发生概率。
