【分式如何求导】在微积分中，分式的求导是一个常见的问题。分式函数通常形式为 $ \frac{u(x)}{v(x)} $，其中 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 是两个关于 $ x $ 的可导函数。为了对这样的分式进行求导，我们需要使用商数法则（Quotient Rule）。
一、商数法则简介
商数法则是用于求解两个函数相除的导数的公式。其基本形式如下：
$$
\left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}
$$
其中：
- $ u' $ 表示 $ u(x) $ 对 $ x $ 的导数；
- $ v' $ 表示 $ v(x) $ 对 $ x $ 的导数；
- $ v^2 $ 表示 $ v(x) $ 的平方。
二、求导步骤总结
以下是求分式导数的基本步骤：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 确定分子函数 $ u(x) $ 和分母函数 $ v(x) $ |
| 2 | 分别求出 $ u'(x) $ 和 $ v'(x) $ |
| 3 | 将 $ u' $ 与 $ v $ 相乘，得到 $ u'v $ |
| 4 | 将 $ u $ 与 $ v' $ 相乘，得到 $ uv' $ |
| 5 | 计算差值：$ u'v - uv' $ |
| 6 | 将结果除以 $ v^2 $，即得导数 |
三、举例说明
假设我们要求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 3} $ 的导数。
- $ u(x) = x^2 + 1 $，则 $ u'(x) = 2x $
- $ v(x) = x - 3 $，则 $ v'(x) = 1 $
代入商数法则：
$$
f'(x) = \frac{(2x)(x - 3) - (x^2 + 1)(1)}{(x - 3)^2}
$$
展开计算：
$$
f'(x) = \frac{2x(x - 3) - (x^2 + 1)}{(x - 3)^2} = \frac{2x^2 - 6x - x^2 - 1}{(x - 3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 1}{(x - 3)^2}
$$
四、注意事项
- 如果分母为常数，可以直接将分母提出来，只对分子求导；
- 当分母为零时，该点不可导；
- 复杂分式可能需要结合链式法则或乘积法则一起使用。
五、总结表格
| 概念 | 内容 |
| 分式函数 | $ \frac{u(x)}{v(x)} $ |
| 导数公式 | $ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $ |
| 步骤 | 1. 分子、分母分别求导； 2. 计算差值； 3. 除以分母平方 |
| 适用范围 | 适用于所有可导的分式函数 |
| 常见错误 | 忽略符号、漏掉平方项、未正确求导 |
通过掌握商数法则和分式求导的基本方法，可以高效地解决大多数分式函数的导数问题。在实际应用中，建议多加练习，提高对复杂分式的处理能力。
