在概率论与数理统计的学习过程中，随机变量及其函数的数学期望和方差是两个非常重要的概念。它们不仅用于描述随机现象的集中趋势和离散程度，还在实际应用中有着广泛的意义。本文将详细介绍如何计算一个随机变量函数的数学期望和方差，并通过具体例子加以说明。
一、基本概念回顾
设 $ X $ 是一个随机变量，其定义域为样本空间 $ \Omega $，取值范围为实数集。若 $ Y = g(X) $ 是 $ X $ 的某个函数，则 $ Y $ 也是一个随机变量。我们通常需要计算的是：
- 数学期望：$ E[Y] = E[g(X)] $
- 方差：$ \text{Var}(Y) = E[(Y - E[Y])^2] $
这两个量可以帮助我们更深入地理解随机变量函数的分布特性。
二、数学期望的计算方法
1. 离散型随机变量的情形
若 $ X $ 是离散型随机变量，其概率质量函数为 $ P(X = x_i) = p_i $，则函数 $ Y = g(X) $ 的数学期望为：
$$
E[Y] = E[g(X)] = \sum_{i} g(x_i) \cdot p_i
$$
示例：
设 $ X $ 的取值为 $ 0, 1, 2 $，对应的概率分别为 $ 0.2, 0.5, 0.3 $，函数 $ g(x) = x^2 $，则：
$$
E[Y] = 0^2 \cdot 0.2 + 1^2 \cdot 0.5 + 2^2 \cdot 0.3 = 0 + 0.5 + 1.2 = 1.7
$$
2. 连续型随机变量的情形
若 $ X $ 是连续型随机变量，其概率密度函数为 $ f_X(x) $，则函数 $ Y = g(X) $ 的数学期望为：
$$
E[Y] = E[g(X)] = \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f_X(x) \, dx
$$
示例：
设 $ X \sim U(0,1) $，即均匀分布在区间 $ [0,1] $ 上，函数 $ g(x) = e^x $，则：
$$
E[Y] = \int_0^1 e^x \cdot 1 \, dx = e^x \big|_0^1 = e - 1
$$
三、方差的计算方法
方差的计算可以基于数学期望的定义进行：
$$
\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2
$$
因此，要计算 $ \text{Var}(g(X)) $，我们需要先求出 $ E[g(X)] $ 和 $ E[(g(X))^2] $。
1. 离散型情况
$$
\text{Var}(Y) = \sum_{i} [g(x_i)]^2 \cdot p_i - \left( \sum_{i} g(x_i) \cdot p_i \right)^2
$$
2. 连续型情况
$$
\text{Var}(Y) = \int_{-\infty}^{+\infty} [g(x)]^2 \cdot f_X(x) \, dx - \left( \int_{-\infty}^{+\infty} g(x) \cdot f_X(x) \, dx \right)^2
$$
示例：
继续上面的例子，若 $ X \sim U(0,1) $，$ g(x) = e^x $，已知 $ E[Y] = e - 1 $，那么：
$$
E[Y^2] = \int_0^1 (e^x)^2 \cdot 1 \, dx = \int_0^1 e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} \bigg|_0^1 = \frac{e^2 - 1}{2}
$$
所以：
$$
\text{Var}(Y) = \frac{e^2 - 1}{2} - (e - 1)^2
$$
四、一些常见函数的期望与方差
对于某些常见的函数形式，我们可以直接利用已知结果来简化计算：
- 若 $ Y = aX + b $（线性变换），则：
- $ E[Y] = aE[X] + b $
- $ \text{Var}(Y) = a^2 \text{Var}(X) $
- 若 $ Y = X^2 $，则：
- $ E[Y] = E[X^2] $
- $ \text{Var}(Y) = E[X^4] - (E[X^2])^2 $
这些公式在处理复杂函数时非常有用，可以避免繁琐的积分或求和过程。
五、总结
计算随机变量函数的数学期望和方差是概率分析中的核心技能之一。无论是离散型还是连续型随机变量，都可以通过相应的概率分布函数来推导。掌握这些方法，不仅可以帮助我们更好地理解随机现象的统计特征，也为后续的概率建模和数据分析打下坚实的基础。
在实际应用中，我们还可以借助计算机工具（如 Python 的 SciPy 或 NumPy 库）进行数值计算，提高效率和准确性。希望本文能为你提供清晰的思路和实用的方法，助力你在概率论的学习道路上更进一步。
