【定比分点公式及推导】在解析几何中，定比分点是一个重要的概念，常用于确定线段上某一点相对于两个端点的位置关系。定比分点公式可以用来求解给定比例下的一点坐标，广泛应用于数学、物理和工程等领域。
一、定比分点的定义
设点 $ P $ 在直线段 $ AB $ 上，且满足 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $（其中 $ \lambda > 0 $），则称点 $ P $ 是线段 $ AB $ 的定比分点，$ \lambda $ 称为分比。
根据分比的不同，点 $ P $ 可以在线段内部或外部，具体取决于 $ \lambda $ 的值：
- 当 $ \lambda > 0 $ 时，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上；
- 当 $ \lambda < 0 $ 时，点 $ P $ 在线段 $ AB $ 的延长线上。
二、定比分点公式的推导
设点 $ A(x_1, y_1) $、点 $ B(x_2, y_2) $，点 $ P(x, y) $ 是线段 $ AB $ 上的定比分点，且满足 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $。
由向量知识可知：
$$
\vec{AP} = \lambda \vec{PB}
$$
即：
$$
(x - x_1, y - y_1) = \lambda (x_2 - x, y_2 - y)
$$
分别对横纵坐标进行整理：
$$
x - x_1 = \lambda (x_2 - x) \Rightarrow x + \lambda x = x_1 + \lambda x_2 \Rightarrow x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}
$$
$$
y - y_1 = \lambda (y_2 - y) \Rightarrow y + \lambda y = y_1 + \lambda y_2 \Rightarrow y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}
$$
因此，定比分点的坐标公式为：
$$
x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda}
$$
三、定比分点公式的应用与总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 点 $ P $ 在线段 $ AB $ 上，使得 $ \frac{AP}{PB} = \lambda $，称为定比分点 |
| 公式 | $ x = \frac{x_1 + \lambda x_2}{1 + \lambda}, \quad y = \frac{y_1 + \lambda y_2}{1 + \lambda} $ |
| 分比意义 | $ \lambda > 0 $ 表示点 $ P $ 在线段内；$ \lambda < 0 $ 表示点 $ P $ 在延长线上 |
| 应用领域 | 解析几何、物理运动分析、工程计算等 |
| 推导方法 | 向量法或坐标法，通过比例关系建立方程求解 |
四、举例说明
例题：
已知点 $ A(1, 2) $、点 $ B(4, 6) $，点 $ P $ 满足 $ \frac{AP}{PB} = 2 $，求点 $ P $ 的坐标。
解：
代入公式：
$$
x = \frac{1 + 2 \times 4}{1 + 2} = \frac{1 + 8}{3} = 3
$$
$$
y = \frac{2 + 2 \times 6}{1 + 2} = \frac{2 + 12}{3} = \frac{14}{3}
$$
所以，点 $ P $ 的坐标为 $ (3, \frac{14}{3}) $。
五、总结
定比分点公式是解析几何中的重要工具，能够帮助我们快速求出线段上的特定点坐标。通过合理的推导和应用，可以在实际问题中灵活使用该公式，提升解题效率和准确性。理解其背后的几何意义和代数推导过程，有助于更深入掌握相关知识点。
