【代数余子式怎么算】在学习线性代数的过程中，代数余子式是一个重要的概念，尤其在计算行列式和矩阵的逆时经常用到。本文将对“代数余子式怎么算”进行详细总结，并通过表格形式帮助读者更直观地理解其计算方法。
一、什么是代数余子式？
代数余子式（Cofactor）是针对矩阵中某个元素 $ a_{ij} $ 所定义的数值，它由该元素所在的行和列被去掉后形成的子矩阵的行列式乘以一个符号因子 $ (-1)^{i+j} $ 得来。
记作：
$$
C_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}
$$
其中，$ M_{ij} $ 是去掉第 $ i $ 行和第 $ j $ 列后的子矩阵的行列式，称为余子式。
二、代数余子式的计算步骤
1. 确定目标元素的位置：找到你想要计算代数余子式的元素 $ a_{ij} $。
2. 去掉对应的行和列：从原矩阵中删除第 $ i $ 行和第 $ j $ 列，得到一个子矩阵。
3. 计算余子式：求出这个子矩阵的行列式 $ M_{ij} $。
4. 应用符号因子：根据位置 $ (i,j) $ 计算符号因子 $ (-1)^{i+j} $。
5. 相乘得到结果：将余子式与符号因子相乘，得到代数余子式 $ C_{ij} $。
三、示例说明
假设有一个 3×3 矩阵：
$$
A =
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
4 & 5 & 6 \\
7 & 8 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
我们来计算元素 $ a_{22} = 5 $ 的代数余子式 $ C_{22} $。
1. 确定位置：$ i=2, j=2 $
2. 去掉第 2 行和第 2 列，得到子矩阵：
$$
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{bmatrix}
$$
3. 计算余子式：
$$
M_{22} = \det\left(\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
7 & 9 \\
\end{bmatrix}\right) = 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 9 - 21 = -12
$$
4. 符号因子：
$$
(-1)^{2+2} = (-1)^4 = 1
$$
5. 代数余子式：
$$
C_{22} = 1 \cdot (-12) = -12
$$
四、代数余子式计算表
| 元素位置 | 子矩阵 | 余子式 $ M_{ij} $ | 符号因子 $ (-1)^{i+j} $ | 代数余子式 $ C_{ij} $ |
| $ a_{11} $ | $\begin{bmatrix}5 & 6 \\ 8 & 9\end{bmatrix}$ | $ 5 \cdot 9 - 6 \cdot 8 = 45 - 48 = -3 $ | $ (-1)^{1+1} = 1 $ | $ -3 $ |
| $ a_{12} $ | $\begin{bmatrix}4 & 6 \\ 7 & 9\end{bmatrix}$ | $ 4 \cdot 9 - 6 \cdot 7 = 36 - 42 = -6 $ | $ (-1)^{1+2} = -1 $ | $ 6 $ |
| $ a_{13} $ | $\begin{bmatrix}4 & 5 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$ | $ 4 \cdot 8 - 5 \cdot 7 = 32 - 35 = -3 $ | $ (-1)^{1+3} = 1 $ | $ -3 $ |
| $ a_{21} $ | $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 8 & 9\end{bmatrix}$ | $ 2 \cdot 9 - 3 \cdot 8 = 18 - 24 = -6 $ | $ (-1)^{2+1} = -1 $ | $ 6 $ |
| $ a_{22} $ | $\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 7 & 9\end{bmatrix}$ | $ 1 \cdot 9 - 3 \cdot 7 = 9 - 21 = -12 $ | $ (-1)^{2+2} = 1 $ | $ -12 $ |
| $ a_{23} $ | $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 7 & 8\end{bmatrix}$ | $ 1 \cdot 8 - 2 \cdot 7 = 8 - 14 = -6 $ | $ (-1)^{2+3} = -1 $ | $ 6 $ |
| $ a_{31} $ | $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 5 & 6\end{bmatrix}$ | $ 2 \cdot 6 - 3 \cdot 5 = 12 - 15 = -3 $ | $ (-1)^{3+1} = 1 $ | $ -3 $ |
| $ a_{32} $ | $\begin{bmatrix}1 & 3 \\ 4 & 6\end{bmatrix}$ | $ 1 \cdot 6 - 3 \cdot 4 = 6 - 12 = -6 $ | $ (-1)^{3+2} = -1 $ | $ 6 $ |
| $ a_{33} $ | $\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 4 & 5\end{bmatrix}$ | $ 1 \cdot 5 - 2 \cdot 4 = 5 - 8 = -3 $ | $ (-1)^{3+3} = 1 $ | $ -3 $ |
五、小结
代数余子式的计算虽然看似复杂，但只要掌握基本步骤并熟练运用行列式的计算方法，就能快速得出结果。通过表格形式展示各个元素的代数余子式，有助于系统化理解和记忆。在实际应用中，代数余子式常用于计算矩阵的伴随矩阵和逆矩阵，因此掌握其计算方法对进一步学习线性代数具有重要意义。
