在数学学习中，完全立方和与立方差公式是代数中的重要知识点之一。它们不仅是解决多项式分解和化简问题的关键工具，也是后续更复杂运算的基础。然而，由于公式的结构较为复杂，许多同学在初次接触时容易混淆。因此，掌握一个简单易记的记忆方法显得尤为重要。

完全立方和公式

首先来看完全立方和公式：

\[

a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)

\]

这个公式可以理解为两个立方体体积之和的表达方式。为了便于记忆，我们可以总结出以下口诀：

“三一三，两减一。”

具体含义如下：

- “三一三”：表示 \(a^3\) 和 \(b^3\) 各占一部分。

- “两减一”：表示括号内第一个部分是 \(a+b\)，后面的部分则是 \(a^2-ab+b^2\)，即平方项减去交叉项再加平方项。

通过这个简单的口诀，我们可以快速回忆起公式的整体结构，避免遗漏或误记。

完全立方差公式

接下来是完全立方差公式：

\[

a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)

\]

同样地，为了帮助记忆，我们也可以提炼出相应的口诀：

“三一三，两加一。”

具体解释如下：

- “三一三”：依然指 \(a^3\) 和 \(b^3\) 的分布。

- “两加一”：表示括号内第一个部分是 \(a-b\)，后面的部分则是 \(a^2+ab+b^2\)，即平方项加上交叉项再加平方项。

这个口诀不仅朗朗上口，而且能够有效辅助理解和记忆公式的核心内容。

实际应用举例

为了进一步巩固记忆效果，我们可以通过实际例子来验证这两个公式的正确性。例如：

1. 计算 \(8^3 + 27^3\)：

\[

8^3 + 27^3 = (8+27)((8^2)-(8\times27)+(27^2)) = 35 \times (64-216+729) = 35 \times 577 = 20195

\]

2. 计算 \(64^3 - 27^3\)：

\[

64^3 - 27^3 = (64-27)((64^2)+(64\times27)+(27^2)) = 37 \times (4096+1728+729) = 37 \times 6553 = 242461

\]

通过以上计算，可以看出公式在实际操作中非常实用。

总结

完全立方和与立方差公式虽然形式复杂，但只要掌握了恰当的记忆方法，就能轻松应对各种题目。希望本文提供的“三一三，两减一”和“三一三，两加一”两个口诀能成为你的学习助手，让你在数学道路上更加得心应手！