【y等于xsinx的导数怎么算】在微积分中，求函数的导数是基础且重要的内容。对于函数 $ y = x \sin x $，它是一个乘积形式的函数，由两个部分组成：$ x $ 和 $ \sin x $。因此，我们不能直接使用基本的导数公式，而需要应用乘积法则来求导。
一、导数计算步骤总结
1. 识别函数结构：
函数 $ y = x \sin x $ 是两个函数 $ u(x) = x $ 和 $ v(x) = \sin x $ 的乘积。
2. 应用乘积法则：
若 $ y = u(x) \cdot v(x) $，则导数为：
$$
y' = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)
$$
3. 分别求出各部分的导数：
- $ u(x) = x $，所以 $ u'(x) = 1 $
- $ v(x) = \sin x $，所以 $ v'(x) = \cos x $
4. 代入公式进行计算：
$$
y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x
$$
即：
$$
y' = \sin x + x \cos x
$$
二、导数计算过程表格
| 步骤 | 内容 | 说明 |
| 1 | 函数形式 | $ y = x \sin x $ |
| 2 | 分解函数 | $ u(x) = x $, $ v(x) = \sin x $ |
| 3 | 应用乘积法则 | $ y' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) $ |
| 4 | 求导数 | $ u'(x) = 1 $, $ v'(x) = \cos x $ |
| 5 | 代入公式 | $ y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x $ |
| 6 | 最终结果 | $ y' = \sin x + x \cos x $ |
三、总结
通过上述步骤，我们可以清晰地看到，函数 $ y = x \sin x $ 的导数是 $ \sin x + x \cos x $。这个过程不仅展示了乘积法则的应用，也帮助我们理解如何处理类似结构的函数。掌握这种基本方法，有助于解决更复杂的导数问题。
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