【常用的三角函数公式集合】在数学学习和应用中，三角函数是基础且重要的内容，广泛应用于几何、物理、工程等多个领域。为了便于查阅和记忆，以下整理了常见的三角函数公式，涵盖基本关系、诱导公式、和差角公式、倍角公式、半角公式以及一些常用恒等式。
一、基本关系式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta = \frac{1}{\csc\theta} $ $ \cos\theta = \frac{1}{\sec\theta} $ $ \tan\theta = \frac{1}{\cot\theta} $ |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ |
二、诱导公式（角度与单位圆）
| 角度变化 | 公式表达 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ |
| $ \sin(2\pi - \theta) $ | $ -\sin\theta $ |
| $ \cos(2\pi - \theta) $ | $ \cos\theta $ |
三、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦和差 | $ \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta $ |
| 余弦和差 | $ \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta $ |
| 正切和差 | $ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta} $ |
四、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta $ |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta $ |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ |
五、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}} $ |
六、其他常用恒等式
| 公式名称 | 公式表达 |
| 正弦积化和差 | $ \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] $ |
| 余弦积化和差 | $ \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)] $ |
| 正弦和差化积 | $ \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
| 余弦和差化积 | $ \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) $ |
以上是常用的三角函数公式集合，涵盖了从基础关系到高级运算的多个方面。这些公式在解题、计算和实际问题中具有重要价值。建议结合图形理解其含义，并通过练习加深掌握。
