【施密特正交化内积详细计算】在向量空间中，施密特正交化（Gram-Schmidt Process）是一种将一组线性无关的向量转化为一组正交向量的方法。在这一过程中，内积（点积）是关键的计算工具，用于确定向量之间的夹角和投影。本文将通过一个具体的例子，详细展示施密特正交化过程中内积的计算步骤，并以加表格的形式呈现。
一、基本概念
- 内积：对于两个向量 $ \mathbf{u} $ 和 $ \mathbf{v} $，其内积定义为
$$
\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n
$$
- 正交化：通过内积计算，将一组向量逐步转换为两两正交的向量。
- 施密特正交化：利用内积对原始向量进行投影，去除已正交化的部分，得到新的正交向量。
二、具体计算过程
假设我们有以下三个线性无关的向量：
$$
\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad
\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \quad
\mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}
$$
目标：将这组向量正交化为 $ \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_3 $
第一步：初始化第一个正交向量
$$
\mathbf{u}_1 = \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}
$$
第二步：计算 $ \mathbf{u}_2 $
$$
\mathbf{u}_2 = \mathbf{v}_2 - \frac{\langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \cdot \mathbf{u}_1
$$
计算内积：
- $ \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle = (1)(1) + (1)(0) + (0)(1) = 1 $
- $ \langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle = (1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 2 $
所以：
$$
\mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} - \frac{1}{2} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 0.5 \\ 1 - 0 \\ 0 - 0.5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 1 \\ -0.5 \end{bmatrix}
$$
第三步：计算 $ \mathbf{u}_3 $
$$
\mathbf{u}_3 = \mathbf{v}_3 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle}{\langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle} \cdot \mathbf{u}_1 - \frac{\langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle}{\langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle} \cdot \mathbf{u}_2
$$
计算内积：
- $ \langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle = (1)(1) + (0)(0) + (-1)(1) = 0 $
- $ \langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle = (1)(0.5) + (0)(1) + (-1)(-0.5) = 0.5 + 0 + 0.5 = 1 $
- $ \langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle = (0.5)^2 + (1)^2 + (-0.5)^2 = 0.25 + 1 + 0.25 = 1.5 $
所以：
$$
\mathbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} - \frac{0}{2} \cdot \mathbf{u}_1 - \frac{1}{1.5} \cdot \begin{bmatrix} 0.5 \\ 1 \\ -0.5 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} - \frac{2}{3} \begin{bmatrix} 0.5 \\ 1 \\ -0.5 \end{bmatrix}
$$
$$
= \begin{bmatrix} 1 - 0.333 \\ 0 - 0.666 \\ -1 + 0.333 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.667 \\ -0.666 \\ -0.667 \end{bmatrix}
$$
三、总结与表格
| 步骤 | 向量 | 内积计算 | 正交化结果 |
| 1 | $ \mathbf{v}_1 $ | - | $ \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $ |
| 2 | $ \mathbf{v}_2 $ | $ \langle \mathbf{v}_2, \mathbf{u}_1 \rangle = 1 $, $ \langle \mathbf{u}_1, \mathbf{u}_1 \rangle = 2 $ | $ \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 0.5 \\ 1 \\ -0.5 \end{bmatrix} $ |
| 3 | $ \mathbf{v}_3 $ | $ \langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_1 \rangle = 0 $, $ \langle \mathbf{v}_3, \mathbf{u}_2 \rangle = 1 $, $ \langle \mathbf{u}_2, \mathbf{u}_2 \rangle = 1.5 $ | $ \mathbf{u}_3 = \begin{bmatrix} 0.667 \\ -0.666 \\ -0.667 \end{bmatrix} $ |
四、结论
通过施密特正交化过程，我们利用内积逐步去除向量间的相关性，最终得到了一组正交向量。整个过程依赖于准确的内积计算，确保每一步都正确地消除了已有正交向量的影响。此方法在数值分析、信号处理、机器学习等领域具有广泛应用。
