【向量乘法坐标公式推导】在向量运算中，向量的乘法主要包括点积（内积）和叉积（外积）。这两种乘法在几何、物理和工程等领域有着广泛的应用。本文将从基础出发，逐步推导这两种乘法在坐标形式下的表达式，并通过表格进行总结。

一、向量的基本概念

设向量 $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ 和 $\vec{b} = (b_1, b_2, b_3)$ 是三维空间中的两个向量，其中 $a_i$ 和 $b_i$ 分别表示向量在 $x$、$y$、$z$ 轴上的分量。

二、点积（内积）的坐标公式推导

点积的结果是一个标量，其定义为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \cos\theta

$$

其中 $\theta$ 是两向量之间的夹角。

根据向量的坐标形式，我们可以用单位向量 $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ 表示：

$$

\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}

$$

$$

\vec{b} = b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k}

$$

利用分配律展开点积：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \cdot (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k})

$$

由于单位向量之间满足：

- $\vec{i} \cdot \vec{i} = 1$

- $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$

- $\vec{i} \cdot \vec{k} = 0$

- 其他类似关系同理

因此，点积结果为：

$$

\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3

$$

三、叉积（外积）的坐标公式推导

叉积的结果是一个向量，其方向垂直于原两个向量所在的平面，大小等于两向量所构成的平行四边形面积。

叉积的定义为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \vec{b} \sin\theta \cdot \hat{n}

$$

其中 $\hat{n}$ 是垂直于 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的单位向量。

同样地，用单位向量展开：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}) \times (b_1\vec{i} + b_2\vec{j} + b_3\vec{k})

$$

利用叉积的分配律和单位向量的叉积规则：

- $\vec{i} \times \vec{i} = 0$

- $\vec{i} \times \vec{j} = \vec{k}$

- $\vec{i} \times \vec{k} = -\vec{j}$

- $\vec{j} \times \vec{k} = \vec{i}$

- $\vec{j} \times \vec{i} = -\vec{k}$

- $\vec{k} \times \vec{i} = \vec{j}$

- $\vec{k} \times \vec{j} = -\vec{i}$

经过计算后，得到叉积的坐标形式为：

$$

\vec{a} \times \vec{b} = (a_2b_3 - a_3b_2)\vec{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\vec{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\vec{k}

$$

也可以写成行列式形式：

$$

\vec{a} \times \vec{b} =

\begin{vmatrix}

\vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\

a_1 & a_2 & a_3 \\

b_1 & b_2 & b_3 \\

\end{vmatrix}

$$

四、总结表格

五、结语

向量乘法的坐标公式是理解向量代数的重要基础，尤其在三维空间中具有广泛的物理意义。掌握这些公式的推导过程，有助于更深入地理解向量的几何与物理含义。

以上就是【向量乘法坐标公式推导】相关内容，希望对您有所帮助。