【微积分计算题及解析】在微积分的学习过程中，计算题是巩固知识、提升解题能力的重要手段。本文整理了几道常见的微积分计算题，并附上详细解答过程与结果，帮助学习者更好地掌握相关知识点。
一、题目汇总
| 题号 | 题目描述 | 类型 |
| 1 | 求函数 $ f(x) = x^3 - 2x + 5 $ 的导数 | 导数计算 |
| 2 | 计算不定积分 $ \int (3x^2 + 4x - 1) dx $ | 不定积分 |
| 3 | 求函数 $ g(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数 | 导数计算 |
| 4 | 计算定积分 $ \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx $ | 定积分 |
| 5 | 求函数 $ h(x) = e^{2x} \cdot \sin(x) $ 的导数 | 导数计算 |
二、答案与解析
题号 1：求函数 $ f(x) = x^3 - 2x + 5 $ 的导数
解析：
使用基本导数公式：
- $ \frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1} $
- 常数的导数为 0
因此，
$$
f'(x) = 3x^2 - 2
$$
答案：
$ f'(x) = 3x^2 - 2 $
题号 2：计算不定积分 $ \int (3x^2 + 4x - 1) dx $
解析：
逐项积分：
- $ \int 3x^2 dx = x^3 $
- $ \int 4x dx = 2x^2 $
- $ \int (-1) dx = -x $
加上常数 $ C $，得：
$$
\int (3x^2 + 4x - 1) dx = x^3 + 2x^2 - x + C
$$
答案：
$ x^3 + 2x^2 - x + C $
题号 3：求函数 $ g(x) = \ln(x^2 + 1) $ 的导数
解析：
使用链式法则：
设 $ u = x^2 + 1 $，则 $ g(x) = \ln(u) $，所以：
$$
g'(x) = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}
$$
答案：
$ g'(x) = \frac{2x}{x^2 + 1} $
题号 4：计算定积分 $ \int_{0}^{2} (x^2 + 1) dx $
解析：
先求不定积分：
$$
\int (x^2 + 1) dx = \frac{x^3}{3} + x
$$
代入上下限：
$$
\left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_0^2 = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - (0 + 0) = \frac{14}{3}
$$
答案：
$ \frac{14}{3} $
题号 5：求函数 $ h(x) = e^{2x} \cdot \sin(x) $ 的导数
解析：
使用乘积法则：
设 $ u = e^{2x} $，$ v = \sin(x) $，则：
$$
h'(x) = u'v + uv'
$$
- $ u' = 2e^{2x} $
- $ v' = \cos(x) $
所以：
$$
h'(x) = 2e^{2x} \sin(x) + e^{2x} \cos(x) = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x))
$$
答案：
$ h'(x) = e^{2x}(2\sin(x) + \cos(x)) $
三、总结
通过以上五道微积分计算题的练习，可以加深对导数和积分的基本概念与运算规则的理解。建议在做题时注意以下几点：
- 熟悉基本导数和积分公式；
- 掌握复合函数的求导方法（如链式法则）；
- 注意积分常数的添加；
- 多进行类似题目的训练，提高解题速度和准确性。
希望本文能对微积分学习者有所帮助。
以上就是【微积分计算题及解析】相关内容，希望对您有所帮助。
