【点到线的距离公式。】在平面几何中，计算一个点到一条直线的距离是一个常见的问题。这个距离是该点与直线上所有点之间最短的线段长度，即垂直于直线的线段长度。掌握这一公式对于解析几何、工程计算以及计算机图形学等领域都有重要意义。
一、点到直线的距离公式总结
设点 $ P(x_0, y_0) $，直线的一般方程为：
$$
Ax + By + C = 0
$$
则点 $ P $ 到这条直线的距离 $ d $ 的公式为：
$$
d = \frac{
$$
二、不同形式下的点到直线距离公式
| 直线形式 | 公式 | 说明 | ||
| 一般式 | $ d = \frac{ | Ax_0 + By_0 + C | }{\sqrt{A^2 + B^2}} $ | A、B、C 为直线系数，P(x₀,y₀) 为点坐标 |
| 斜截式 | $ d = \frac{ | kx_0 - y_0 + b | }{\sqrt{k^2 + 1}} $ | k 为斜率，b 为截距，P(x₀,y₀) 为点坐标 |
| 点斜式 | $ d = \frac{ | (y_0 - y_1) - k(x_0 - x_1) | }{\sqrt{k^2 + 1}} $ | (x₁,y₁) 为直线上一点，k 为斜率，P(x₀,y₀) 为点坐标 |
| 两点式 | $ d = \frac{ | (y_2 - y_1)x_0 - (x_2 - x_1)y_0 + x_2 y_1 - y_2 x_1 | }{\sqrt{(y_2 - y_1)^2 + (x_2 - x_1)^2}} $ | (x₁,y₁) 和 (x₂,y₂) 为直线上两点，P(x₀,y₀) 为点坐标 |
三、使用场景与注意事项
- 应用场景：常用于几何建模、路径规划、碰撞检测等。
- 注意事项：
- 公式中的分子部分为绝对值，表示距离的正数性；
- 分母部分为直线方向向量的模长，确保单位统一；
- 若直线为垂直或水平线（如 x = a 或 y = b），可直接通过横纵坐标差求距离。
四、示例计算
假设点 $ P(3, 4) $，直线方程为 $ 2x + 3y - 6 = 0 $，则：
$$
d = \frac{
$$
五、结语
点到直线的距离公式是解析几何中的基础工具之一，掌握其推导与应用有助于理解更复杂的几何问题。通过不同的直线表达形式，可以灵活地应用于各种实际场景中，提高计算效率和准确性。
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