【三角函数有哪些公式】三角函数是数学中非常重要的一个分支，广泛应用于几何、物理、工程等领域。常见的三角函数包括正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan），以及它们的倒数函数：余切（cot）、正割（sec）和余割（sec）。为了便于理解和应用，三角函数有许多基本公式和恒等式。以下是对这些公式的总结，并以表格形式进行展示。
一、基本定义公式
| 函数名称 | 定义式 | 备注 |
| 正弦函数 | $ \sin\theta = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中定义 |
| 余弦函数 | $ \cos\theta = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}} $ | 在直角三角形中定义 |
| 正切函数 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} $ | 定义域为 $ \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ |
| 余切函数 | $ \cot\theta = \frac{1}{\tan\theta} = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 定义域为 $ \theta \neq k\pi $ |
| 正割函数 | $ \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} $ | 定义域为 $ \theta \neq \frac{\pi}{2} + k\pi $ |
| 余割函数 | $ \csc\theta = \frac{1}{\sin\theta} $ | 定义域为 $ \theta \neq k\pi $ |
二、基本恒等式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 倒数关系 | $ \sin\theta \cdot \csc\theta = 1 $ $ \cos\theta \cdot \sec\theta = 1 $ $ \tan\theta \cdot \cot\theta = 1 $ | 每个函数与其倒数相乘为1 |
| 商数关系 | $ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} $ $ \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} $ | 由正弦与余弦导出 |
| 平方关系 | $ \sin^2\theta + \cos^2\theta = 1 $ $ 1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta $ $ 1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta $ | 最基础的恒等式之一 |
三、诱导公式（角度变换）
| 角度变换 | 公式表达 | 说明 |
| $ \sin(-\theta) $ | $ -\sin\theta $ | 奇函数 |
| $ \cos(-\theta) $ | $ \cos\theta $ | 偶函数 |
| $ \sin(\pi - \theta) $ | $ \sin\theta $ | 对称于y轴 |
| $ \cos(\pi - \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 对称于y轴 |
| $ \sin(\pi + \theta) $ | $ -\sin\theta $ | 对称于原点 |
| $ \cos(\pi + \theta) $ | $ -\cos\theta $ | 对称于原点 |
四、和差角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦和角 | $ \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦和 |
| 正弦差角 | $ \sin(A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B $ | 用于计算两个角的正弦差 |
| 余弦和角 | $ \cos(A+B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦和 |
| 余弦差角 | $ \cos(A-B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B $ | 用于计算两个角的余弦差 |
| 正切和角 | $ \tan(A+B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} $ | 适用于两角和的正切 |
| 正切差角 | $ \tan(A-B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} $ | 适用于两角差的正切 |
五、倍角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦倍角 | $ \sin(2\theta) = 2\sin\theta \cos\theta $ | 用于计算两倍角的正弦 |
| 余弦倍角 | $ \cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta $ $ \cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1 $ $ \cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta $ | 多种形式，根据需要选择 |
| 正切倍角 | $ \tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta} $ | 用于计算两倍角的正切 |
六、半角公式
| 公式名称 | 公式表达 | 说明 |
| 正弦半角 | $ \sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} $ | 根据象限选择正负号 |
| 余弦半角 | $ \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} $ | 同上 |
| 正切半角 | $ \tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \frac{\sin\theta}{1 + \cos\theta} = \frac{1 - \cos\theta}{\sin\theta} $ | 两种常见形式 |
七、积化和差与和差化积公式
| 公式类型 | 公式表达 | 说明 |
| 积化和差 | $ \sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)] $ $ \cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A+B) + \cos(A-B)] $ $ \sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)] $ | 将乘积转化为和差 |
| 和差化积 | $ \sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right) $ $ \cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right) $ | 将和差转化为乘积 |
总结
三角函数的公式种类繁多，涵盖了基本定义、恒等式、诱导公式、和差角、倍角、半角、积化和差及和差化积等多种类型。掌握这些公式有助于在解题过程中更灵活地处理三角问题，提高运算效率。建议在学习过程中结合图形理解，增强记忆效果。
以上就是【三角函数有哪些公式】相关内容，希望对您有所帮助。
