【伯努利概率公式】在概率论中，伯努利概率公式是描述独立重复试验中成功或失败事件发生概率的基础工具。它适用于只有两种可能结果的试验，通常称为“成功”和“失败”。这种模型被称为伯努利试验。
一、伯努利概率公式的定义
伯努利概率公式用于计算在 n次独立试验 中，恰好有 k次成功 的概率。其公式如下：
$$
P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k}
$$
其中：
- $ P(k) $：恰好发生k次成功的概率；
- $ C_n^k $：组合数，表示从n次试验中选择k次成功的组合方式数目；
- $ p $：每次试验成功的概率；
- $ 1 - p $：每次试验失败的概率。
二、伯努利概率公式的应用
该公式广泛应用于统计学、金融、工程等领域，用于预测或分析二元事件的发生概率。例如：
- 投掷硬币出现正面的次数；
- 产品合格率的估计；
- 某个网站访问者的点击行为预测等。
三、伯努利概率公式的总结
| 名称 | 内容说明 |
| 公式 | $ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} $ |
| 适用条件 | 独立重复试验；每次试验只有两种结果（成功/失败） |
| 组合数 | $ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} $ |
| 成功概率 | $ p $（0 ≤ p ≤ 1） |
| 失败概率 | $ 1 - p $ |
| 应用场景 | 投掷硬币、产品质量检测、市场调查、网络流量分析等 |
四、示例说明
假设某次考试通过率为60%（即 $ p = 0.6 $），进行5次独立考试，求恰好通过3次的概率。
使用公式计算：
$$
P(3) = C_5^3 \cdot 0.6^3 \cdot 0.4^{2} = 10 \cdot 0.216 \cdot 0.16 = 0.3456
$$
因此，恰好通过3次的概率为 34.56%。
五、结语
伯努利概率公式是理解随机事件规律的重要工具。通过合理运用这一公式，可以对现实世界中的二元事件进行科学预测与分析，帮助我们在不确定中做出更合理的决策。
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