近日，【一元四次方程的求根公式--黄之】引发关注。一元四次方程是数学中一个重要的代数方程，形式为 $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。虽然其解法复杂，但历史上已有多种方法可以求得其根。本文将对一元四次方程的求根公式进行简要总结，并通过表格形式展示关键步骤与内容。
一、概述
一元四次方程的求解方法最早由意大利数学家塔尔塔利亚（Tartaglia）和费拉里（Ferrari）在16世纪提出。该方法的核心思想是通过降次的方式，将其转化为一个三次方程来求解，最终得到原方程的四个根。
由于计算过程较为繁琐，现代数学中更多使用数值方法或计算机辅助求解，但在理论研究中，求根公式的存在仍具有重要意义。
二、求根步骤总结
以下是求解一元四次方程的一般步骤：
| 步骤 | 内容说明 |
| 1 | 将方程化为标准形式：$ x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $（若首项系数不为1，需先除以该系数） |
| 2 | 引入变量替换：令 $ y = x + \frac{a}{4} $，消去三次项，得到形如 $ y^4 + py^2 + qy + r = 0 $ 的方程 |
| 3 | 引入辅助变量 $ z $，使方程变为 $ (y^2 + z)^2 = (2z - p)y^2 - qy + (z^2 - r) $ |
| 4 | 选择适当的 $ z $ 值，使得右边为完全平方，从而将原方程转化为两个二次方程 |
| 5 | 解这两个二次方程，得到原四次方程的四个根 |
三、关键公式
以下是一些关键公式与关系：
| 公式名称 | 公式表达 |
| 标准形式 | $ x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d = 0 $ |
| 消去三次项后的方程 | $ y^4 + py^2 + qy + r = 0 $，其中 $ p = b - \frac{3a^2}{8},\ q = c - \frac{ab}{2} + \frac{a^3}{8},\ r = d - \frac{a^2c}{4} + \frac{a^3b}{16} - \frac{3a^4}{256} $ |
| 辅助方程 | $ (y^2 + z)^2 = (2z - p)y^2 - qy + (z^2 - r) $ |
| 三次方程（用于求解 $ z $） | $ 8z^3 - 4pz^2 + (2p^2 - 4r)z - q^2 = 0 $ |
四、结论
一元四次方程的求根公式虽然复杂，但它是代数学发展的重要成果之一。通过一系列代数变换，可以将其转化为可解的三次方程，进而求得所有根。尽管实际应用中常采用数值方法，但理解其解析解的结构对于数学学习者仍有重要价值。
作者：黄之
日期：2025年4月
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