【sect（6及伴随矩阵及习题）】在高等代数的学习过程中，伴随矩阵是一个非常重要的概念，尤其在求解逆矩阵、行列式以及线性方程组等方面具有广泛的应用。本节将围绕伴随矩阵的定义、性质及其相关例题进行详细讲解，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、伴随矩阵的定义
设 $ A $ 是一个 $ n \times n $ 的方阵，其元素为 $ a_{ij} $，则矩阵 $ A $ 的伴随矩阵（Adjoint Matrix）记作 $ \text{adj}(A) $ 或 $ A^ $，是由 $ A $ 的每个元素的代数余子式组成的矩阵的转置。
具体来说，若 $ C_{ij} $ 表示 $ A $ 中元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式，则伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $ 的第 $ i $ 行第 $ j $ 列的元素为 $ C_{ji} $，即：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
C_{11} & C_{21} & \cdots & C_{n1} \\
C_{12} & C_{22} & \cdots & C_{n2} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{1n} & C_{2n} & \cdots & C_{nn}
\end{bmatrix}
$$
二、伴随矩阵的性质
1. 与原矩阵的关系：
对于任意可逆矩阵 $ A $，有如下关系：
$$
A \cdot \text{adj}(A) = \text{adj}(A) \cdot A = \det(A) \cdot I
$$
其中 $ I $ 是单位矩阵，$ \det(A) $ 是 $ A $ 的行列式。
2. 逆矩阵的表达式：
若 $ A $ 可逆，则其逆矩阵可以表示为：
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \cdot \text{adj}(A)
$$
3. 行列式的性质：
伴随矩阵的行列式满足：
$$
\det(\text{adj}(A)) = (\det(A))^{n-1}
$$
4. 对称性：
如果 $ A $ 是对称矩阵，则 $ \text{adj}(A) $ 也是对称矩阵。
三、伴随矩阵的计算方法
计算伴随矩阵的基本步骤如下：
1. 计算每个元素 $ a_{ij} $ 的代数余子式 $ C_{ij} $；
2. 构造由所有 $ C_{ij} $ 组成的矩阵；
3. 将该矩阵转置，得到伴随矩阵 $ \text{adj}(A) $。
例如，对于一个 2×2 矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
a & b \\
c & d
\end{bmatrix}
$$
其伴随矩阵为：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
d & -b \\
-c & a
\end{bmatrix}
$$
四、典型例题解析
例题 1：
已知矩阵：
$$
A = \begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{bmatrix}
$$
求 $ \text{adj}(A) $。
解：
首先计算每个元素的代数余子式：
- $ C_{11} = \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 6 & 0 \end{vmatrix} = (1)(0) - (4)(6) = -24 $
- $ C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 4 \\ 5 & 0 \end{vmatrix} = -[(0)(0) - (4)(5)] = 20 $
- $ C_{13} = \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 5 & 6 \end{vmatrix} = (0)(6) - (1)(5) = -5 $
继续计算其余元素的代数余子式，最终构造出伴随矩阵并转置即可。
例题 2：
已知矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $，求 $ A^{-1} $。
解：
先计算行列式：
$$
\det(A) = 2 \cdot 4 - 1 \cdot 3 = 8 - 3 = 5
$$
再求伴随矩阵：
$$
\text{adj}(A) = \begin{bmatrix}
4 & -1 \\
-3 & 2
\end{bmatrix}
$$
因此，
$$
A^{-1} = \frac{1}{5} \cdot \begin{bmatrix}
4 & -1 \\
-3 & 2
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
\frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\
-\frac{3}{5} & \frac{2}{5}
\end{bmatrix}
$$
五、总结
伴随矩阵是线性代数中的核心内容之一，它不仅在理论分析中有着重要作用，而且在实际计算中也频繁出现。掌握伴随矩阵的定义、性质和计算方法，有助于更深入地理解矩阵的结构与运算规律。通过练习相关题目，能够进一步巩固这一知识点，提升解题能力。
