【高三数学第一轮复习导学教案18】一、教学函数的单调性与奇偶性

二、教学目标

1. 理解函数单调性的定义，掌握判断函数单调性的方法。

2. 掌握函数奇偶性的定义及判定方法，能够判断函数的奇偶性。

3. 能够结合函数的单调性和奇偶性解决实际问题，提升综合运用能力。

三、教学重点与难点

- 重点：函数单调性的判断方法；函数奇偶性的判断方法。

- 难点：利用函数的单调性和奇偶性分析图像变化趋势；综合应用两种性质解决问题。

四、教学过程设计

1. 新课导入（5分钟）

通过生活中的实例引入函数的单调性与奇偶性概念。例如：

- 某地气温随时间的变化曲线，可以反映出函数的增减趋势；

- 对称图形（如抛物线、正弦函数等）体现函数的奇偶性。

引导学生思考：如何用数学语言描述这些现象？从而引出本节课的核心内容。

2. 知识讲解（20分钟）

（1）函数的单调性

- 定义：设函数 $ y = f(x) $ 在区间 $ I $ 上有定义，若对于任意 $ x_1, x_2 \in I $，当 $ x_1 < x_2 $ 时，都有 $ f(x_1) < f(x_2) $，则称函数在区间 $ I $ 上是增函数；若 $ f(x_1) > f(x_2) $，则称为减函数。

- 判断方法：

- 图像法：观察函数图像的上升或下降趋势；

- 定义法：利用单调性定义进行证明；

- 导数法：若 $ f'(x) > 0 $，则函数在该区间上为增函数；若 $ f'(x) < 0 $，则为减函数。

（2）函数的奇偶性

- 定义：

- 若对任意 $ x \in D $，都有 $ f(-x) = f(x) $，则称 $ f(x) $ 为偶函数，其图像是关于 y轴对称；

- 若对任意 $ x \in D $，都有 $ f(-x) = -f(x) $，则称 $ f(x) $ 为奇函数，其图像是关于 原点对称。

- 判断方法：

- 利用代数方法验证 $ f(-x) $ 与 $ f(x) $ 的关系；

- 观察图像是否关于 y 轴或原点对称。

3. 典型例题解析（15分钟）

例题1：判断函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的单调性。

- 解析：先求导 $ f'(x) = 3x^2 - 3 $，令 $ f'(x) = 0 $，得 $ x = \pm 1 $。

- 分析导数符号：当 $ x < -1 $ 或 $ x > 1 $ 时，$ f'(x) > 0 $，函数递增；当 $ -1 < x < 1 $ 时，$ f'(x) < 0 $，函数递减。

例题2：判断函数 $ f(x) = \frac{1}{x} $ 的奇偶性。

- 解析：计算 $ f(-x) = \frac{1}{-x} = -\frac{1}{x} = -f(x) $，因此该函数是奇函数。

4. 学生练习（10分钟）

布置几道基础题和一道综合题，让学生独立完成并小组讨论。

题目示例：

1. 判断函数 $ f(x) = x^2 + 1 $ 的奇偶性。

2. 求函数 $ f(x) = 2x^3 - 5x $ 的单调区间。

3. 已知函数 $ f(x) $ 是奇函数，且在 $ (0, +\infty) $ 上是增函数，试说明其在 $ (-\infty, 0) $ 上的单调性。

5. 总结与反馈（5分钟）

- 回顾函数单调性和奇偶性的定义与判断方法；

- 强调两者在图像分析和函数性质研究中的重要性；

- 鼓励学生课后多做相关练习题，巩固所学知识。

五、作业布置

1. 教材第65页第1、2、3题；

2. 自选一道函数题，分析其单调性与奇偶性，并写出简要分析过程。

六、教学反思（教师填写）

本次课程围绕函数的单调性和奇偶性展开，学生参与度较高，课堂互动良好。部分学生在理解导数法判断单调性时仍存在困难，需在后续课程中加强练习与讲解。

备注：本教案根据教学大纲要求编写，旨在帮助学生系统掌握函数的基本性质，为后续学习打下坚实基础。