【高等数学练习题(附答案)】在学习高等数学的过程中，练习题是巩固知识、提升解题能力的重要手段。通过大量的练习，不仅可以加深对概念的理解，还能提高运算技巧和逻辑思维能力。以下是一些精选的高等数学练习题，并附有详细的解答过程，供同学们参考与练习。
一、函数与极限
题目1：
求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x}$
解答：
利用重要极限公式 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，可得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = \lim_{x \to 0} 3 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} = 3 \cdot 1 = 3
$$
答案： $3$
题目2：
计算 $\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$
解答：
这是一个经典的极限形式，其结果为自然常数 $e$：
$$
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e
$$
答案： $e$
二、导数与微分
题目3：
设 $f(x) = x^3 - 4x + 2$，求 $f'(x)$
解答：
对函数逐项求导：
$$
f'(x) = 3x^2 - 4
$$
答案： $3x^2 - 4$
题目4：
求函数 $y = \ln(\sin x)$ 的导数
解答：
使用链式法则：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sin x} \cdot \cos x = \cot x
$$
答案： $\cot x$
三、积分
题目5：
计算定积分 $\int_0^1 x^2 \, dx$
解答：
根据积分公式：
$$
\int_0^1 x^2 \, dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1^3}{3} - \frac{0^3}{3} = \frac{1}{3}
$$
答案： $\frac{1}{3}$
题目6：
计算不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$
解答：
这是标准积分形式：
$$
\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \arctan x + C
$$
答案： $\arctan x + C$
四、微分方程初步
题目7：
解微分方程 $y' = 2x$
解答：
直接积分：
$$
y = \int 2x \, dx = x^2 + C
$$
答案： $y = x^2 + C$
题目8：
求微分方程 $y' + y = 0$ 的通解
解答：
这是一个一阶线性齐次微分方程，解为：
$$
y = Ce^{-x}
$$
答案： $y = Ce^{-x}$
总结
高等数学的学习离不开扎实的练习。以上题目涵盖了函数与极限、导数与微分、积分以及微分方程等基本内容。建议同学们在做题时注重理解每一步的推导过程，遇到困难时多查阅教材或请教老师。坚持练习，逐步积累，才能真正掌握这门重要的基础学科。
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