【2017《高等数学》高起专第1阶段测试题附答案】在2017年，针对高等数学课程的阶段性测试逐渐成为高校教学评估的重要环节。特别是对于“高起专”（即高中起点专科）的学生而言，高等数学作为一门基础性学科，不仅关系到后续专业课程的学习，也直接影响学生的综合素质和逻辑思维能力。
本次测试题是针对“高起专”学生在学习高等数学初期阶段所设置的一套练习题，旨在帮助学生巩固基础知识、掌握基本概念，并为后续内容打下坚实的基础。题目涵盖了函数、极限、导数、微分等核心知识点，既注重理论理解，也强调实际应用能力。
一、选择题（每题4分，共20分）
1. 下列函数中，定义域为全体实数的是（ ）
A. $ f(x) = \frac{1}{x} $
B. $ f(x) = \sqrt{x} $
C. $ f(x) = \ln x $
D. $ f(x) = x^2 $
2. 函数 $ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} $ 在 $ x = 1 $ 处的极限是（ ）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 不存在
3. 设 $ f(x) = 2x + 3 $，则 $ f'(x) $ 是（ ）
A. 2
B. 3
C. 2x
D. 0
4. 若 $ y = \sin(2x) $，则 $ y' $ 等于（ ）
A. $ \cos(2x) $
B. $ 2\cos(2x) $
C. $ \sin(2x) $
D. $ 2\sin(2x) $
5. 函数 $ f(x) = x^3 - 3x $ 的极值点是（ ）
A. $ x = 1 $
B. $ x = -1 $
C. $ x = 0 $
D. $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $
二、填空题（每题5分，共20分）
6. $ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = $ ________。
7. 设 $ f(x) = e^{2x} $，则 $ f'(x) = $ ________。
8. 若 $ y = \ln(x^2 + 1) $，则 $ dy = $ ________。
9. 函数 $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ 的最小值是 ________。
10. 曲线 $ y = x^2 $ 在点 $ (1, 1) $ 处的切线斜率为 ________。
三、解答题（每题10分，共30分）
11. 求函数 $ f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 1} $ 的定义域，并判断其是否为连续函数。
12. 求函数 $ y = \cos(3x) $ 的导数。
13. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 3x $，求其极值点及极值。
四、附加题（10分）
14. 证明：若函数 $ f(x) $ 在区间 $ [a, b] $ 上连续，且 $ f(a) \cdot f(b) < 0 $，则方程 $ f(x) = 0 $ 在区间 $ (a, b) $ 内至少有一个实根。
参考答案：
一、选择题
1. D
2. C
3. A
4. B
5. D
二、填空题
6. 1
7. $ 2e^{2x} $
8. $ \frac{2x}{x^2 + 1} dx $
9. 1
10. 2
三、解答题
11. 定义域为 $ x \neq 1 $；该函数在定义域内不连续。
12. $ y' = -3\sin(3x) $
13. 极值点为 $ x = 1 $ 和 $ x = -1 $，极小值为 $ -2 $，极大值为 $ 2 $。
四、附加题
14. 根据介值定理，可得结论。
通过本阶段的测试，学生可以更好地掌握高等数学的基本概念与运算方法，为今后的学习奠定扎实的基础。同时，也提醒广大学生在学习过程中应注重理解和应用，避免死记硬背，提升自身的数学素养。
