在概率论与统计学中，数学期望是一个非常重要的概念。它用来描述随机变量的平均值或中心位置，是衡量一个随机事件长期趋势的一个重要指标。简单来说，数学期望可以被理解为在大量重复试验下，某个随机变量可能取到的平均值。
假设我们有一个离散型随机变量X，其所有可能的取值为x₁, x₂, ..., xn，对应的概率分别为p₁, p₂, ..., pn，则这个随机变量的数学期望E(X)可以通过公式计算：
\[ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i \]
对于连续型随机变量Y，其概率密度函数为f(y)，则数学期望E(Y)可以通过积分形式来表示：
\[ E(Y) = \int_{-\infty}^{\infty} y \cdot f(y) dy \]
数学期望具有线性性质，即如果a和b是常数，那么对于任意两个随机变量X和Y有：
\[ E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y) \]
此外，在实际应用中，数学期望还经常用于风险评估、投资决策以及各种科学实验的设计与分析等领域。例如，在金融领域，投资者会根据股票的历史收益率及其波动情况来估算未来的预期收益，这就是基于数学期望的一种分析方法。
总之，数学期望作为概率论中的核心概念之一，为我们提供了一种量化不确定性的工具，帮助我们在面对复杂多变的情况时做出更加合理的选择。
