在物理学中，黑体辐射的研究是一个重要的课题。普朗克在1900年提出了黑体辐射的能量分布公式，即普朗克公式，为量子力学的发展奠定了基础。通过普朗克公式的分析与推导，我们可以进一步理解两个重要的热辐射定律：斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律。

首先，让我们回顾一下普朗克公式的基本形式。普朗克假设电磁波的能量是量子化的，其能量与频率成正比，比例常数被称为普朗克常数。根据这一假设，他得到了黑体辐射的能量密度谱公式：

\[ u(\nu, T) = \frac{8\pi h \nu^3}{c^3} \cdot \frac{1}{e^{h\nu / kT} - 1} \]

其中 \( u(\nu, T) \) 是单位体积内频率为 \( \nu \) 的辐射能量密度，\( h \) 是普朗克常数，\( c \) 是光速，\( k \) 是玻尔兹曼常数，\( T \) 是绝对温度。

接下来，我们来推导斯忒藩-玻尔兹曼定律。该定律表明，一个黑体的总辐射功率与其表面温度的四次方成正比。为了得到这个结果，我们需要对普朗克公式进行积分，计算整个频谱范围内的总能量密度，并将其转换为单位面积上的辐射功率。

通过对普朗克公式的积分处理，可以得出黑体辐射的总能量密度 \( U(T) \) 与温度的关系。进一步结合斯特藩-玻尔兹曼常数 \( \sigma \)，最终得到斯忒藩-玻尔兹曼定律：

\[ P = \sigma T^4 \]

这里 \( P \) 表示单位时间内从单位表面积发出的总辐射功率。

然后，我们转向维恩位移定律的推导。该定律指出，黑体辐射的峰值波长 \( \lambda_{max} \) 与温度 \( T \) 成反比关系。具体来说，存在这样一个经验公式：

\[ \lambda_{max} \cdot T = b \]

其中 \( b \approx 2.898 \times 10^{-3} \, \text{m·K} \) 被称为维恩位移常数。

为了验证这一点，我们可以利用普朗克公式的微分性质，寻找使能量密度达到最大值时对应的波长。经过数学运算后，可以证明上述关系成立。

综上所述，通过对普朗克公式的深入研究，我们不仅能够理解和解释黑体辐射现象，还能够推导出斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律等经典物理理论。这些定律对于描述自然界的热辐射过程具有重要意义，并且在现代科学技术中有广泛的应用前景。