一、教学目标

1. 知识与技能

- 理解平面向量的基本概念，包括向量的定义、表示方法和几何意义。

- 掌握向量的加法、减法及数乘运算的法则，并能进行简单的计算。

- 能够运用向量解决实际问题，如位移、速度等。

2. 过程与方法

- 通过实例引入向量概念，引导学生从生活实际中抽象出数学模型。

- 通过小组合作学习，培养学生的逻辑思维能力和合作意识。

- 利用图形辅助理解，增强学生的空间想象能力。

3. 情感态度与价值观

- 激发学生对数学的兴趣，体会数学在现实生活中的应用价值。

- 培养严谨的数学思维习惯和科学态度。

二、教学重点与难点

- 重点：平面向量的概念、向量的线性运算（加法、减法、数乘）。

- 难点：向量的几何意义及其在实际问题中的应用。

三、教学准备

- 教师准备：多媒体课件、向量图示、练习题。

- 学生准备：课本、笔记本、直尺、铅笔。

四、教学过程

1. 导入新课（5分钟）

教师通过提问引导学生思考：“如果一个人从A点出发，先向东走3公里，再向北走4公里，那么他最终的位置相对于起点来说是什么样的？”

引导学生发现，这种“方向”和“大小”的组合可以用一种新的数学工具来表示——向量。

2. 新知讲解（20分钟）

（1）向量的定义

向量是既有大小又有方向的量。通常用有向线段表示，箭头方向表示向量的方向，线段长度表示向量的大小。

（2）向量的表示方法

- 几何表示：用带箭头的线段表示，如 $\vec{AB}$ 或 $\vec{a}$。

- 字母表示：常用小写字母 $ \vec{a}, \vec{b}, \vec{c} $ 表示。

- 坐标表示：在平面直角坐标系中，向量可以表示为 $(x, y)$。

（3）向量的相等与相反

两个向量大小相等、方向相同，则它们相等；方向相反、大小相等的向量称为相反向量。

3. 向量的线性运算（25分钟）

（1）向量的加法

- 三角形法则：将第二个向量的起点与第一个向量的终点相连，结果是从第一个向量的起点到第二个向量的终点的向量。

- 平行四边形法则：将两个向量的起点放在一起，以这两个向量为邻边作平行四边形，对角线即为两向量的和。

（2）向量的减法

向量的减法可转化为加法：$\vec{a} - \vec{b} = \vec{a} + (-\vec{b})$，其中 $-\vec{b}$ 是 $\vec{b}$ 的相反向量。

（3）向量的数乘

数乘向量是指一个实数 $k$ 与向量 $\vec{a}$ 相乘，得到一个新的向量 $k\vec{a}$。

- 当 $k > 0$ 时，方向不变，大小变为原来的 $k$ 倍；

- 当 $k < 0$ 时，方向相反，大小变为原来的 $|k|$ 倍。

4. 课堂练习（15分钟）

- 题目1：已知向量 $\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (-1, 4)$，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} - \vec{b}$。

- 题目2：若 $\vec{u} = (5, -2)$，求 $3\vec{u}$ 和 $-2\vec{u}$。

- 题目3：画出向量 $\vec{a} = (3, 1)$ 和 $\vec{b} = (-2, 4)$ 的和。

5. 小结与作业布置（5分钟）

- 小结：本节课我们学习了平面向量的基本概念、表示方法以及向量的加法、减法和数乘运算。

- 作业：

- 完成教材第85页习题1、2、3；

- 思考题：如何用向量描述物体的运动轨迹？

五、板书设计

```

平面向量

1. 定义：既有大小又有方向的量

2. 表示方法：

- 几何：→ AB 或 a

- 坐标：(x, y)

3. 运算：

- 加法：a + b

- 减法：a - b = a + (-b)

- 数乘：k·a

```

六、教学反思

本节课通过贴近生活的例子引入向量概念，帮助学生建立直观理解。在运算部分，通过图形与代数结合的方式，增强了学生的理解能力。后续教学中应加强实际应用题的训练，提高学生综合运用知识的能力。