在初中和高中数学中，抛物线是二次函数图像的重要表现形式，而求抛物线的解析式则是解决许多几何与代数问题的基础。掌握这一技能，不仅有助于理解函数的变化规律，还能在实际问题中灵活应用。
抛物线的标准形式通常为：
$$ y = ax^2 + bx + c $$
其中 $ a \neq 0 $。根据已知条件的不同，我们可以通过多种方法来确定这个表达式中的系数 $ a $、$ b $ 和 $ c $。
一、已知三点坐标
若已知抛物线上三个不同的点，例如 $ (x_1, y_1) $、$ (x_2, y_2) $、$ (x_3, y_3) $，可以将这三个点代入一般式，建立一个三元一次方程组，进而解出 $ a $、$ b $、$ c $ 的值。
例题：已知抛物线经过点 $ (0, 2) $、$ (1, 5) $、$ (-1, 1) $，求其解析式。
解法：
将点代入 $ y = ax^2 + bx + c $ 得：
- 当 $ x=0 $ 时，$ y=2 $，得 $ c = 2 $
- 当 $ x=1 $ 时，$ y=5 $，得 $ a + b + 2 = 5 $ → $ a + b = 3 $
- 当 $ x=-1 $ 时，$ y=1 $，得 $ a - b + 2 = 1 $ → $ a - b = -1 $
联立方程：
$$
\begin{cases}
a + b = 3 \\
a - b = -1
\end{cases}
$$
解得：$ a = 1 $，$ b = 2 $，因此抛物线的解析式为：
$$ y = x^2 + 2x + 2 $$
二、已知顶点与一点
若已知抛物线的顶点坐标 $ (h, k) $ 和另一个点 $ (x, y) $，则可以使用顶点式：
$$ y = a(x - h)^2 + k $$
通过代入已知点，求出 $ a $ 的值。
例题：顶点为 $ (2, 3) $，且过点 $ (4, 7) $，求解析式。
解法：
代入顶点式：
$$ 7 = a(4 - 2)^2 + 3 \Rightarrow 7 = 4a + 3 \Rightarrow a = 1 $$
所以解析式为：
$$ y = (x - 2)^2 + 3 $$
三、已知与x轴交点（根）
如果抛物线与x轴有两个交点 $ x_1 $、$ x_2 $，则可以使用交点式：
$$ y = a(x - x_1)(x - x_2) $$
再结合其他条件（如过某一点）求出 $ a $。
例题：抛物线与x轴交于 $ (1, 0) $ 和 $ (3, 0) $，且过点 $ (2, 2) $，求解析式。
解法：
设解析式为 $ y = a(x - 1)(x - 3) $，代入点 $ (2, 2) $：
$$ 2 = a(2 - 1)(2 - 3) \Rightarrow 2 = a(1)(-1) \Rightarrow a = -2 $$
所以解析式为：
$$ y = -2(x - 1)(x - 3) $$
四、综合运用与技巧
在实际问题中，常常需要结合图形信息或题目给出的条件进行分析。比如：
- 若题目提到“对称轴”、“最高点”或“最低点”，应优先考虑顶点式。
- 若有图像或图示信息，可先找出关键点（如顶点、与坐标轴交点等），再代入公式计算。
- 在考试中，注意单位转换、符号处理及代数运算的准确性。
五、小结
求抛物线的解析式是一个由已知条件推导未知参数的过程，核心在于选择合适的表达形式（一般式、顶点式、交点式）并合理代入数据。通过不断练习，能够提升对二次函数的理解和应用能力。
掌握这些方法后，不仅能快速解答相关题目，还能在更复杂的数学问题中灵活运用，为后续学习打下坚实基础。
