在物理学中，转动惯量是一个描述物体绕轴旋转时惯性的物理量，其定义为质量相对于转轴分布的函数。对于不同形状和质量分布的刚体，转动惯量的计算方法有所不同。本文将从理论出发，详细推导圆盘和平面球体的转动惯量。
一、圆盘的转动惯量
假设有一块均匀圆盘，其半径为 \( R \)，质量为 \( M \)，密度为 \( \rho \)。该圆盘绕通过其中心且垂直于盘面的轴旋转。
1. 转动惯量公式
根据转动惯量的定义：
\[
I = \int r^2 \, dm
\]
其中 \( r \) 是质元到转轴的距离，\( dm \) 是质量元。
由于圆盘是均匀的，可以将其质量分布表示为：
\[
dm = \rho \, dA
\]
其中 \( dA \) 是面积微元。
2. 面积微元的选择
为了简化积分，选择极坐标系。在极坐标下，面积微元 \( dA \) 可表示为：
\[
dA = r \, dr \, d\theta
\]
因此，质量元可以写成：
\[
dm = \rho \, r \, dr \, d\theta
\]
3. 积分范围
圆盘的半径从 \( 0 \) 到 \( R \)，角度从 \( 0 \) 到 \( 2\pi \)。总质量 \( M \) 满足：
\[
M = \int_0^{2\pi} \int_0^R \rho \, r \, dr \, d\theta
\]
计算得：
\[
M = \rho \cdot \pi R^2
\]
从而可得密度 \( \rho \) 的表达式：
\[
\rho = \frac{M}{\pi R^2}
\]
4. 计算转动惯量
将 \( dm \) 和 \( \rho \) 代入转动惯量公式：
\[
I = \int_0^{2\pi} \int_0^R r^2 \cdot \rho \, r \, dr \, d\theta
\]
化简后：
\[
I = \rho \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^R r^3 \, dr
\]
分别计算积分：
\[
\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi, \quad \int_0^R r^3 \, dr = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^R = \frac{R^4}{4}
\]
因此：
\[
I = \rho \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4}
\]
代入 \( \rho = \frac{M}{\pi R^2} \)：
\[
I = \frac{M}{\pi R^2} \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{4} = \frac{1}{2} M R^2
\]
最终结果为：
\[
I_{\text{圆盘}} = \frac{1}{2} M R^2
\]
二、球体的转动惯量
接下来考虑一个均匀球体，其半径为 \( R \)，质量为 \( M \)，密度为 \( \rho \)。该球体绕直径旋转。
1. 转动惯量公式
同样基于转动惯量的定义：
\[
I = \int r^2 \, dm
\]
其中 \( r \) 是质元到转轴的距离。
2. 质量元的选择
对于球体，质量分布可以用球坐标表示。质量元 \( dm \) 可表示为：
\[
dm = \rho \, dV
\]
其中 \( dV \) 是体积微元。在球坐标下，体积微元为：
\[
dV = r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\]
3. 积分范围
球体的半径从 \( 0 \) 到 \( R \)，极角 \( \theta \) 从 \( 0 \) 到 \( \pi \)，方位角 \( \phi \) 从 \( 0 \) 到 \( 2\pi \)。总质量 \( M \) 满足：
\[
M = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R \rho \, r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\]
计算得：
\[
M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3
\]
从而可得密度 \( \rho \) 的表达式：
\[
\rho = \frac{3M}{4\pi R^3}
\]
4. 计算转动惯量
将 \( dm \) 和 \( \rho \) 代入转动惯量公式：
\[
I = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \int_0^R r^2 \cdot \rho \, r^2 \sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi
\]
化简后：
\[
I = \rho \int_0^{2\pi} d\phi \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta \int_0^R r^4 \, dr
\]
分别计算积分：
\[
\int_0^{2\pi} d\phi = 2\pi, \quad \int_0^\pi \sin\theta \, d\theta = 2, \quad \int_0^R r^4 \, dr = \left[ \frac{r^5}{5} \right]_0^R = \frac{R^5}{5}
\]
因此：
\[
I = \rho \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5}
\]
代入 \( \rho = \frac{3M}{4\pi R^3} \)：
\[
I = \frac{3M}{4\pi R^3} \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^5}{5} = \frac{2}{5} M R^2
\]
最终结果为：
\[
I_{\text{球体}} = \frac{2}{5} M R^2
\]
总结
通过上述推导，我们得到了均匀圆盘和平面球体的转动惯量公式：
- 圆盘：\( I = \frac{1}{2} M R^2 \)
- 球体：\( I = \frac{2}{5} M R^2 \)
这些结果在经典力学中具有广泛应用，可用于分析旋转运动的动力学问题。
