在九年级的数学学习过程中，单元测试是检验学生对所学知识掌握情况的重要方式。而“名校课堂九年级上册数学单元测试一”作为一份高质量的练习题，涵盖了本阶段的重点内容，包括一元二次方程、二次函数、相似三角形等核心知识点。
为了帮助同学们更好地理解题目、查漏补缺，以下是对该单元测试一的详细答案解析与思路引导，供参考使用。
一、选择题（每小题3分，共15分）
1. 题目：下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A. $ x + 2 = 0 $
B. $ x^2 + 3x - 4 = 0 $
C. $ 2x + y = 5 $
D. $ x^3 - x = 0 $
答案：B
解析：一元二次方程的标准形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。只有选项B符合这一条件。
2. 题目：若关于x的一元二次方程 $ x^2 + px + q = 0 $ 的两根为1和-3，则p和q的值分别为（ ）
A. p=2, q=-3
B. p=-2, q=-3
C. p=2, q=3
D. p=-2, q=3
答案：B
解析：根据韦达定理，两根之和为 $ -p $，两根之积为 $ q $。所以 $ 1 + (-3) = -2 = -p $，即 $ p = -2 $；$ 1 \times (-3) = -3 = q $，故选B。
3. 题目：抛物线 $ y = (x - 2)^2 + 3 $ 的顶点坐标是（ ）
A. (2, 3)
B. (-2, 3)
C. (2, -3)
D. (-2, -3)
答案：A
解析：抛物线的顶点式为 $ y = a(x - h)^2 + k $，顶点坐标为 $ (h, k) $，因此顶点为(2, 3)。
4. 题目：若两个三角形相似，它们的周长比为2:3，则面积比为（ ）
A. 2:3
B. 4:9
C. 3:2
D. 9:4
答案：B
解析：相似图形的面积比等于对应边长比的平方，因此 $ 2^2 : 3^2 = 4:9 $。
5. 题目：解方程 $ 2x^2 - 5x + 2 = 0 $，其根为（ ）
A. $ x = 1 $ 或 $ x = 2 $
B. $ x = \frac{1}{2} $ 或 $ x = 2 $
C. $ x = 2 $ 或 $ x = 3 $
D. $ x = \frac{1}{2} $ 或 $ x = 3 $
答案：B
解析：使用求根公式 $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $，代入得 $ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm 3}{4} $，即 $ x = 2 $ 或 $ x = \frac{1}{2} $。
二、填空题（每小题3分，共15分）
6. 方程 $ x^2 - 4x + 3 = 0 $ 的解为 ________。
答案：x = 1 或 x = 3
7. 抛物线 $ y = -x^2 + 2x + 3 $ 的对称轴为 ________。
答案：x = 1
8. 若 $ \frac{a}{b} = \frac{c}{d} $，则 $ ad = bc $ 是根据 ________ 定理得出的。
答案：比例的基本性质
9. 若一个矩形的长是宽的2倍，且周长为30cm，则它的面积是 ________ cm²。
答案：50
10. 若二次函数 $ y = ax^2 + bx + c $ 的图像开口向下，且顶点在y轴上，则b的值为 ________。
答案：0
三、解答题（共30分）
11. 解方程：$ 3x^2 - 5x - 2 = 0 $
解：
使用求根公式：
$$
x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6}
$$
即 $ x = \frac{5 + 7}{6} = 2 $ 或 $ x = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} $。
12. 已知二次函数的图象经过点(1, 4)、(2, 5)、(0, 3)，求该函数的表达式。
解：设函数为 $ y = ax^2 + bx + c $，代入三点：
- 当 $ x = 0 $ 时，$ y = 3 $，所以 $ c = 3 $。
- 当 $ x = 1 $ 时，$ a + b + 3 = 4 $ → $ a + b = 1 $。
- 当 $ x = 2 $ 时，$ 4a + 2b + 3 = 5 $ → $ 4a + 2b = 2 $ → $ 2a + b = 1 $。
联立方程组：
$$
\begin{cases}
a + b = 1 \\
2a + b = 1
\end{cases}
$$
相减得 $ a = 0 $，代入得 $ b = 1 $。
所以函数为 $ y = x^2 + x + 3 $。
以上是“名校课堂九年级上册数学单元测试一”的完整答案与解析，希望对同学们的学习有所帮助。在复习过程中，建议多做类似题目，巩固基础知识，提升解题能力。
